Gagasan Rujukan Dasar dan Utama: Bukti Persamaan Euler

Bukti Persamaan Euler

Ini adalah materi lanjutan dari "Bilangan Kompleks...(ii) {Dalil De Moivre}"... Mohon dilihat kembali untuk lebih jelasnya.. ^^.. Dan ini mungkin bisa dikatakan sebagai materi yang rumit bagi kebanyakan mahasiswa di universitasku.. Namun sesungguhnya, kita tidak perlu menjadi profesor untuk membuktikan rumus *dewa* ini, karena bukti itu sekarang sudah jelas di depan mata, dan lagi *bukti ini cukup mudah diturunkan*!!

Sekali lagi, saya ingatkan.. Jangan kaget bahwa ternyata pembuktian rumus ini sangatlah mudah.. ^^

=========================================================================

PROOF

Bukti ini banyak makan tempat.. Oleh karena itu, saya menggunakan banyak singkatan atau permisalan:

Ingat konsep awal euler bahwa:

Dengan melihat konsep itu, cobalah untuk menguraikan bentuk

Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.
z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]
Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Lanjuutt. Tadi, kita sudah sampai sini...

Kita beri notasi mod. untuk kedua ruas.

Kita dapatkan persamaan berikut:

<----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Lalu, kita buat n mendekati tak hingga (agar bisa sesuai dengan konsep awal, konsep euler).

Oleh karena itu:

<----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.
z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]
Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Nah, kita kembali ke persamaan awal, yaitu persamaan di bawah:

Kita beri notasi arg. untuk kedua ruas.

Kita dapatkan persamaan berikut:

<---------- diambil dari ruas paling kiri dan kanan.. Dekati n hingga tak terhingga (agar sesuai dengan konsep awal, konsep euler).

Oleh karena itu:

<----- diambil ruas yang paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

Kita sudah mendapatkan

dan

. Selanjutnya, kita kembali ke konsep awal.

Substitusikan

dan

, maka menjadi:

Terbukti

=========================================================================

KEADAAN KHUSUS

Jika x=0, maka persamaan eulernya menjadi:

Seandainya y positif, maka:

... (i)
Seandainya y negatif, maka:

... (ii)
Lalu, kita lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan pada kedua persamaan:

Dari eliminasi tersebut menghasilkan 2 identitas berikut:
*)

=========================================================================
Ternyata, pembuktian persamaan euler ini cukup mudah.. Hanya memakai konsep limit saja sudah cukup. Tidak perlu mengunakan pengintegralan dan sebagainya...

Btw, ada yang mo nanya gakk?? ayo.. ayoo.. nanya.. mumpung gratisss.. ^^

Lihat juga lanjutan post ini: Variabel Kompleks(iv){Review}.. ^^

Sumber: Kalkulus I (Wikaria Gazali), dosen tercinta di Universitas Bina Nusantara

SUMBER